Agujeros negros en la matemática

 

En nuestro sistema de numeración se pueden encontrar muchas cosas sorprendentes. Una de ellas es la propiedad absorbente que tienen algunos números: “atraen” a otros números, cuál si fueran agujeros negros, después de realizarles a estos últimos ciertas operaciones. Son números que, no solamente aparecen siempre como resultado de dichos cálculos, sino que permanecen allí, impertérritos, aunque sigamos con las operaciones.

En este artículo, me voy a referir solamente a algunos de ellos, que son también los que aparecen más en la bibliografía.

Comienzo con el conocido número 6174, denominado constante de Kaprekar, nombre puesto en homenaje al matemático indio Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905-1986), quien fue el que lo presentó en sociedad. En este caso, los protagonistas son los números de cuatro cifras, con la siguiente excepción: los cuatro dígitos no pueden ser iguales. Elijamos, por ejemplo, al número 5412 y hagamos los siguientes pasos:

  1. Obtener el número x ordenando los dígitos del número elegido de forma descendente.
  2. Obtener el número y ordenando los dígitos del número elegido de forma descendente.
  3. Calcular el número z=x-y teniendo la precaución de agregar un 0 a la izquierda si el resultado tuviera 3 cifras.
  4. Repetir las operaciones con el número z así obtenido.

Para el número que hemos elegido, utilizando el algoritmo mencionado se obtienen los siguientes números:

  1. 5412: 5421 – 1245 = 4176
  2. 4176: 4761 – 1467 = 3294
  3. 3294: 9432 – 2349 = 7083
  4. 7094: 9740 – 0479 = 9261
  5. 9261: 9621 – 1269 = 8352
  6. 8352: 8532 – 2358 = 6174

 

Como vemos, después de 6 iteraciones, obtenemos la constante de Kaprekar y no podremos salir de ella por más pasos que hagamos. Además, hay algunas particularidades que es interesante destacar: el número de iteraciones necesarias para llegar a la constante nunca es mayor que 7 y todos los números involucrados en ellas son divisibles por 9. Prueben que sucede con el número 8235.

Por supuesto, no es el único agujero negro numérico; hay muchos con operaciones definidas de distintas maneras. Como un pasatiempo, aconsejo probar que sucede con un número de tres cifras, no capicúa, si utilizamos las mismas operaciones definidas para la constante de Kaprekar. ¿Y los de dos dígitos?

Analicemos otra curiosidad numérica. En este caso, elijamos un número natural con una cantidad cualquiera de dígitos. Contemos el número de dígitos pares y el número de dígitos impares del número elegido y, a continuación, formemos un número colocando primero la cantidad de dígitos pares, luego la cantidad de dígitos impares y, a continuación, la cantidad total de dígitos del número elegido. Repitamos este proceso para ver qué sucede. Tomemos el número que sigue

12892672697412363588

Como vemos, dicho número tiene 11 pares, 9 impares y 20 cifras lo que genera el número:

11920

Ahora tenemos 1 pares, 4 impares (el 0 es impar) y 5 cifras, dando lugar al número:

145

Repetimos el proceso obteniendo 123 y, si queremos seguir, volvemos a obtener el mismo número; por lo tanto, el 123 es el “agujero negro” para todo número natural con cualquier número de dígitos y las operaciones que hemos mencionado.

No son los únicos agujeros negros numéricos. ¿Para qué sirven? No mucho más que como entretenimiento curioso (al menos que yo sepa). Pero, en una época donde la Matemática tiene tanta mala fama, entretenerse con ella no es poca cosa. Representa una buena forma de introducirla a partir de lo curioso para sacarle su mito de difícil y aburrida.

Por último, no puedo terminar sin recomendar a dos autores. Dentro de la matemática recreativa , Martín Gardner (1914-2010) es un ejemplo de difusor prolífico, brillante y entretenido. En nuestro país, Adrián Paenza, un divulgador que va más allá de lo lúdico y que logra atrapar hasta a los que miran de costado a todo lo que tiene que ver con lo matemático. Son dos autores que, en mi opinión, deberían ser de lectura obligatoria en las clases de matemática secundaria y estar presentes en las bibliotecas de los que gustamos de esta ciencia.

 

 

 

 

(*) Juan Petryla

Correo: juanpetryla@gmail.com

Twitter: @juanpetryla

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



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