El problema de Monty Hall

Monty Hall fue el conductor del programa de televisión Let´s Make a Deal (Trato Hecho) que se emitió en Estados Unidos a lo largo de 40 años. Se trataba de un conjunto de juegos entre los cuales uno se hizo famoso como el problema de Monty Hall.

Y se hizo célebre, fundamentalmente, porque su solución escapa a la intuición y porque generó un gran debate en el cual intervinieron matemáticos de altísimo nivel.

La prueba consistía en lo siguiente: Monty Hall mostraba tres puertas, de las cuales el concursante debía elegir una. Detrás de una de ellas había un premio muy caro: un automóvil.

Detrás de las otras dos se escondían sendas cabras. El conductor conocía la puerta donde se encontraba el premio mayor. Una vez que el concursante elegía una puerta, Monty Hall abría una puerta con una cabra y preguntaba al concursante si quería cambiar su elección original por la otra puerta no abierta.

Si Ud. fuera el concursante, ¿mantendría su elección o la cambiaría? Una vez abierta una puerta sin el premio mayor, parece obvio que la probabilidad de ganar es del 50%, ya sea que cambiemos o no nuestra elección original. El problema, tal vez, no habría tenido trascendencia sin la aparición de Marilyn vos Savant.

Su nombre apareció en el libro de los records de Guinnes por ser la persona con el mayor coeficiente intelectual del mundo, con un valor de 228, muy por encima de la media de 140. Debido a ser conocida como la persona “más inteligente del mundo”, tenía una columna semanal en la revista Parade, donde respondía preguntas de todo tipo. Fue allí donde un lector le preguntó si la probabilidad de un concursante de la prueba de Monty Hall aumentaba o se mantenía con el cambio de la puerta originalmente elegida.

Su respuesta abrió la caja de Pandora: dijo que conviene cambiar la elección original porque así la probabilidad de ganar el auto aumentaba el doble. Muchos de los lectores no estuvieron de acuerdo con la respuesta que, para ellos, no estaba a la altura de la fama de genio de Marilyn.

Expertos en probabilidad, doctores en Matemáticas pidieron la rectificación de su respuesta con una enorme cuota de subestimación hacia una “no matemática” y una alta cuota de machismo. Hasta Paul Erdös (1913-1996), uno de los mejores matemáticos del s. XX, dijo que eso era imposible.

Sin embargo, pese a todas esas presiones, Marilyn mantuvo su respuesta: la probabilidad de ganar si no se cambia la elección original es de 1/3 (33,3%), y la probabilidad de ganar si cambias es de 2/3 (66,6%). Por lo tanto, lo que conviene es cambiar siempre.

Voy a tratar de fundamentar que la solución propuesta por Marilyn es la correcta. Lo primero que hay que hacer para entender el problema es plantearse la información que el concursante tiene acerca de las puertas, porque de esto depende que elija la solución correcta. Instintivamente pensamos que una vez que quedan sólo dos puertas, ambas tienen la misma probabilidad (un 50%) de contener el coche. Pero eso no es cierto por la siguiente razón: al comenzar la prueba el concursante tiene una posibilidad entre tres de elegir la puerta correcta en la que se encuentra el coche.

Cuando el presentador abre una de las otras puertas, en las que se encuentra una de las cabras, no está cambiando la probabilidad de tu primera opción (que sigue siendo 1/3), pero al hacerlo está aportando más información sobre las puertas. Al comenzar había una posibilidad entre tres de acertar, pero al cambiar de puerta el escenario es
completamente distinto: la posibilidad pasa a ser de dos entre tres, pues ya sabemos que el coche no está en una de las tres puertas.

Al elegir la otra puerta tus posibilidades de acertar pasan de 1/3 a 2/3. Es decir, se doblan. Finalmente, Erdös se convenció de su error inicial luego de ver una simulación del problema con una computadora .

El concurso y las discusiones que siguieron prueban que, en matemática, la intuición es peligrosa hasta para los especialistas. A pesar de este error, Erdös es indiscutible en la matemática del s. XX y, además, es un personaje rico sobre el que voy a escribir en algún momento.

 

 

(*) Prof. Juan Petryla
Correo: juanpetryla@gmail.com
@juanpetryla

 

 

 

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