Por Juan Petryla
Cuando Ernö Rubik (nacido en Budapest en 1944) creó su famoso cubo en 1974, no podía imaginarse que lo que estaba dando a luz sería el juguete más vendido en el mundo. Y aún menos podría haber supuesto que el cubo serviría de inspiración para la comunidad matemática, provocando una serie de preguntas muy fáciles de enunciar pero muy complicadas para responder.
A mí me encantan mucho ese tipo de juegos: simples, pero escondiendo un mundo de cosas que, posiblemente, ni el mismo Rubik se imaginaba.
¿Cómo puede un juguete motivar trabajos de investigación matemática tan sofisticados? Una primera respuesta viene dada por los gigantescos números que encierra: hay 43.252.003.274.489.856.000 maneras de reordenar el cubo. Esa cifra es fácil de calcular utilizando la teoría de permutaciones, acompañada con la paridad, pero su magnitud es muy difícil de imaginar. Más bien, es imposible de imaginar. ¿Por qué?
Porque tiene 100 veces más de combinaciones posibles que segundos de existencia tiene el universo. Porque representa aproximadamente más de 288 mil millones de veces la distancia de la Tierra al Sol.
De hecho, ni las computadoras más potentes son capaces de procesar esta cifra y, precisamente por ello, el razonamiento matemático se vuelve esencial. Así, el conjunto de configuraciones del cubo se puede interpretar como un grafo, es decir, como algo parecido a una “red social” en la que hay nodos (que son las personas) y conexiones entre ellos dadas por la “amistad” entre los nodos. En el cubo de Rubik, los nodos son las configuraciones, y dos configuraciones están unidas si se puede pasar de la una a la otra con una rotación de una cara del cubo.
Con esta imagen en mente, resolver el juego se corresponde con encontrar un camino en el grafo que una a la configuración en cuestión con el estado ganador. Esto es, una sucesión de estados que empieza en la disposición de partida y acaba en el estado en el que cada cara es de un solo color. Este camino existe siempre, desde cualquier posición, y, de hecho, como hay una cantidad finita (¡aunque enorme!) de configuraciones, habrá un número máximo de pasos para resolver cualquier configuración. La pregunta es: ¿cuál es ese número máximo de pasos?
Ese número recibió el nombre de “Número de Dios” (nombre un tanto extraño) y calcularlo tomó muchos años de investigación.
En 1979, el matemático inglés David Singmaster demostró que el número de Dios era, como mucho, 277, y lo hizo usando técnicas algebraicas. En 1981, el matemático estadounidense Morwen Thistlethwaite redujo drásticamente ese número a 52.
En el año 1995 se demostró que el número de Dios estaba entre el 20 y el 29. Y al fin, en julio de 2010, con la ayuda de supercomputadoras donadas por Google, los matemáticos Tomas Rokicki, Herbert Kociemba, y John Dethridge demostraron que el número de Dios es 20. Imaginate: podés tomar un cubo de Rubik 3×3 en cualquiera de sus más de cuarenta millones de billones de combinaciones posibles y llegar a la combinación ganadora en, a lo sumo, 20 movimientos.
Pero ojo. Estoy diciendo que se puede llegar a la meta en, a lo sumo, veinte movimientos. Que lo hagas vos, u otra persona, es un tema aparte. Una cosa es haber probado que eso se puede hacer, y otra es lograrlo en todas las situaciones. Todavía nadie logró una receta, un algoritmo, como para concretarlo. Y no está fácil el problema.
La investigación matemática desarrollada para resolver este inocente problema tiene aplicaciones muy diversas. Una de ellas es el estudio de las redes de transporte, por ejemplo. Y seguramente llegarán aplicaciones que hoy desconocemos. Porque, muchas veces, las investigaciones matemáticas que se publican hoy no tienen aplicación práctica. Quedan ahí, a la espera de ser utilizadas.
¡Qué apasionante! El cubo de Rubik 3×3, que tiene más que 43 seguido de 18 ceros arreglos posibles, se lo puede solucionar en, a lo sumo, 20 pasos, pero todavía no contamos con la receta, con el algoritmo para hacerlo en esa cantidad de pasos. Me gustaría saber si Ernö Rubik sabía sobre el alcance del juego que ideó. Imagino que no, aunque lo desconozco. Sobre este tema hice un video, y lo podés ver en mi canal de YouTube: Academia Calculus.
La matemática, si le perdés el miedo, te abre las puertas a lugares impensados. Del inocente Cubo de Rubik surgieron estudios muy complejos que hoy se utilizan mucho en la vida real. Y hay pocos problemas de la vida real que no se solucionen con la participación de la matemática. Realmente pocos.
* Juan Petryla
Docente jubilado de la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas, y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones
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