Los números de Lychrel

Las curiosidades matemáticas relacionadas con los números han llamado la atención a muchos matemáticos desde la antigüedad. En mis artículos publicados en las columnas de MisionesOnline.net me he referido en alguna oportunidad al número 6174, conocido con el nombre de constante de Kaprecar.
Dentro de todas esas curiosidades se destacan los temas relacionados con los palíndromos o, como comúnmente se conocen, los números capicúas. Recordemos que estamos hablando de números que son iguales tanto si los leemos de izquierda a derecha como si lo hacemos de derecha a izquierda. Ejemplos de tales números serían 232, 3453, etcétera.

Hoy voy a referirme a una curiosa conjetura relacionada con los números capicúa que hasta el día de hoy no ha sido demostrada. Me estoy refiriendo a la existencia de los números de Lychrel.
Veamos de que se trata este tema. Tomemos un número natural cualquiera, por ejemplo el 54; invirtamossus dígitos y sumamos los dos números resultantes: 54 + 45 = 99. En un solo paso, obtenemos un capicúa.
Si probamos con otro número, por caso el 75, obtenemos: 75 +57 = 132, que no es capicúa.
Sigamos con el mismo proceso, pero ahora con el 132: 132 + 231 = 363. Quiere decir que, en dos iteraciones, obtuvimos el capicúa.

Como un ultimo ejemplo, elijamos el número 165. Tendremos:
165 + 561 = 726
726 + 627 =1353
1353 + 3531 = 4884

Como se puede apreciar, en tres iteraciones llegamos al capicúa 4884. Pueden probar con el número 89 y verán que van a necesitar 24 pasos para obtener el capicúa 8813200023188. Se trata de un número relativamente grande de iteraciones porque, en general, se requiere menos.
Pero ahora todo matemático se tiene que hacer la siguiente pregunta: mediante este método, ¿se puede “palindromizar” o “capicuar” cualquier número natural? Y es aquí donde aparece la conjetura sobre la que quiero escribir: existen números para los cuales no se sabe si terminan en capicúa al aplicar este proceso.
Los números naturales que no se pueden “capicuar” se llaman números de Lychrel y el número más pequeño sospechoso de serlo es el 196. Ese nombre le fue dado por Wade VanLandingham como un anagrama aproximado del nombre de su novia Cheryl (¿será cierto?).
El tema es que no se sabe si el 196 es un número de Lychrelsino solamente es un sospechoso de serlo; hasta hoy, y utilizando computadoras muy potentes, no se ha obtenido ningún palíndromo a partir de él y eso que se ha llegado a números de mil millones de dígitos.
Y así como el 196, hay otros que son candidatos a ser Lychler pero ninguno probado. Ejemplos de esos son el 295, 394, 593, etcétera.
En internet, donde es posible encontrar casi cualquier cosa, hay un sitio que tiene las 200 primeras iteraciones: http://jasondoucette.com/196.html. Como pueden apreciar, se obtienen números enormes, imposibles de manejar sin una muy buena computadora. Por otra parte, en el sitio https://www.dcode.fr/lychrel-number “capicuar” en línea cualquier número siempre que no sea candidato a número de Lychler.

 

Y sobre esta conjetura se puede agregar otra: la conjetura de Sara. Esta establece que si n es el número de iteraciones, si un número no se “capicúa” en 24n/89 iteraciones es un Lychler.

Pero es una conjetura y deberá probarse, lo mismo que la existencia misma de los Lychter.
Hasta ahora, en este tema, se ha utilizado solamente la fuerza bruta de las computadoras. Es difícil predecir si en algún momento se llegará a transformar las conjeturas en pruebas.

 

 

(*) Por Juan Petryla
Correo: juanpetryla@gmail.com

 

 



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