Por Juan Petryla (*)
Pitágoras, sin dudas, es uno de los matemáticos más conocidos por cualquiera que haya hecho los estudios secundarios. Todos recordamos el famoso teorema que lleva su nombre: “en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.
Sin embargo, es muy poco lo que se conoce de él. Su vida y obra permanece en un aura de misterio y leyenda que, inclusive, permite alimentar dudas acerca de su misma existencia. Vivió en el siglo VI a.C. y desarrolló su tarea, principalmente, en Crotona, en el sur de Italia. Allí creo la Hermandad Pitagórica, una escuela que se dedicó al estudio de la filosofía, lógica y matemática.
Lo que se sabe con certeza es que Pitágoras cambió el curso de la matemática. En su escuela creían que a través de los números se podrían descubrir los secretos de la naturaleza y acercarse a los dioses. Dentro de ese esquema mental, introdujo el concepto de los números perfectos. El consideraba que la perfección numérica dependía de los divisores propios positivos de un número. Por ejemplo, los divisores propios de 12 son 1, 2, 3, 4 y 6; cuando la suma de esos divisores es mayor que el mismo número, se conoce a éste como número abundante. Por lo tanto, 12 es un número abundante debido a que 1+2+3+4+6=16, que es mayor que 12. Por otro lado, cuando la suma de los divisores es menor que el mismo número, se dice que éste es deficiente. El 10 es deficiente ya que tiene por divisores propios a 1, 2 y 5 y su suma es 8, menor que 10.
Los números más significativos y raros son aquellos cuyos divisores propios son exactamente el mismo número y éstos son los números perfectos. El número 6 tiene los divisores propios 1, 2 y 3 y, por consiguiente, 6 es un número perfecto porque 1+2+3= 6. El siguiente número perfecto es 28 porque 1+2+4+7+14=28.
Además de su sentido matemático, para la hermandad, la perfección del 6 y del 28 fue reconocida por otras culturas que observaron que la luna giraba alrededor de la tierra en 28 días y declararon que Dios creó el mando en 6 días. San Agustín (354-430), en su obra cumbre La ciudad de Dios, argumenta que aunque Dios pudo haber creado el mundo en un instante, decidió hacerlo en 6 días para reflejar la perfección del universo. Observó que el 6 no era perfecto porque Dios lo hubiese escogido sino porque la perfección era inherente a su naturaleza. En ese sentido escribió: “6 es un número perfecto en sí mismo y no porque Dios creara todas las cosas en 6 días; por el contrario, Dios creó todas las cosas en 6 días porque ese número es perfecto. Y seguiría siendo perfecto aún si el trabajo de los 6 días no existiera”.
En la actualidad, y con la ayuda de supercomputadoras, el mayor número perfecto conocido tiene… ¡34.850.340 cifras! Nadie ha encontrado números perfectos impares pero tampoco se ha probado de que no existen. Se conjetura que hay infinitos números perfectos pero tampoco se sabe; hasta hoy se conocen solamente los 46 primeros y no se pudo probar que existen más.
Y, para finalizar, volvamos al tema de los divisores. Tomemos el número 220 y calculemos sus divisores propios. Son los siguientes: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110 y 220. Su suma es 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 y es distinta a 220 por lo que 284 no es un número perfecto. Hagamos ahora lo mismo con el resultado obtenido, el 284. Sus divisores propios son 1, 2, 4, 71 y 142.
Los sumamos a todos y nos da 220, el número con el que comenzamos. Estas parejas de números que cumplen que los divisores propios de uno de ellos suman el otro número y viceversa, se llaman números amigos. O sea que un número amigo de sí mismo es un número perfecto.
En la edad media se pensaba que un talismán que tuviese grabado los números 220 y 284 podría tener efectos amorosos, hasta tal punto que se hicieron experimentos al respecto, aunque ninguno tuvo los resultados esperados. Se conocen muchas parejas de números amigos, algunas de ellas con números bastante grandes pero se desconoce si son infinitos.
Muchos grandes matemáticos, además de Pitágoras, se han dedicado al estudio de los números perfectos y amigos aunque sus aplicaciones no son muy evidentes. Por otra parte, han sido alimento de la numerología, pseudociencia sobre que hablaremos en estas notas.
(*) Juan Petryla
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