El libro de arena

En este artículo me voy a referir a la matemática presente en el cuento El libro de arena de Borges. Para ello, necesito completar el panorama acerca de los números fraccionarios o racionales, que comencé a desarrollar en el artículo El infinito matemático.

Como sabemos, los racionales son los números que se pueden expresar como cocientes entre dos enteros. Una propiedad de estos números, que es la utilizada Borges, es: entre dos números racionales cualesquiera, siempre hay un número racional. ¿Qué significa eso? Tomemos el intervalo de racionales que se encuentran entre el 0 y el 1.

Si “caminamos” desde el 1 hacia el 0 “pisando” en los racionales, pasaremos por el ½, por el 1/4, el 1/8, etc. Pero, si quiero “pisar” el racional inmediatamente anterior al 0, no lo voy a poder hacer porque siempre habrá otro racional en el medio de ese racional que imagino como último y el 0.

La otra propiedad, probada por Cantor, es que el conjunto de los racionales es numerable y, por consiguiente, es un conjunto que tiene la misma cantidad de elementos que el de los naturales (los que sirven para contar). ¿Cómo lo probó Cantor? Pues, construyó el siguiente cuadro:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Un modo de recorrer el cuadro “visitando” todos los racionales es seguir el camino indicado por las flechas (no es la único). Entonces, al 1/1 lo asocio con el 1, al 1/2 con el 2, al 2/1 con el 3 y, así, sucesivamente. De este modo, avanzo por diagonales y recorro todo el cuadro sin dejar de tocar ningún racional, salteando a aquellos que se repiten (el 3/3 o el 2/4, por ejemplo). Así, además de aparear a los racionales positivos con los naturales, les doy un orden, el cual no refleja la ubicación que tienen en la recta ni es el único posible. Este método se puede extender fácilmente a los racionales negativos, probando d este modo que los naturales y los racionales son dos conjuntos con la misma cantidad de elementos.

Vayamos al cuento. Recordemos que en El libro de arena, Borges recibe la visita de un vendedor de libros, quien le ofrece biblias. Como el escritor, que es un personaje del cuento, le aclara que ya tiene varias, el visitante le ofrece un libro al que considera sagrado llamado El libro de arena. Escribe Borges: “Me dijo que su libro se llamaba El libro de Arena, porque ni el libro ni la arena tienen principio ni fin. Me pidió que buscara la primera hoja.

Apoyé la mano izquierda sobre la portada y abrí con el dedo pulgar casi pegado al índice. Todo fue inútil: siempre se interponían varias hojas entre la portada y la mano. Era como si brotaran del libro”.

Previamente, menciona: “En el ángulo superior de las páginas había cifras arábigas. Me llamó la atención que la página par llevara el número (digamos) 40.514 y la impar, la siguiente, el 999”. Veamos. Para Borges, la tapa del libro es el 0 y la contratapa el 1 y las páginas son los racionales comprendidos entre el 0 y el 1. El Borges del cuento no puede encontrar la primera página porque es imposible encontrar al primer racional después del cero. Y, en cuanto a la extraña numeración de las páginas, se la puede explicar con el conteo de los racionales ideado por Cantor.

El libro de arena no es una excepción en Borges. Hay varios cuentos con referencias explícitas a temas de matemática. Y no tocaba de oído como otros escritores. Guillermo Martínez, matemático y escritor (autor de la muy buena novela Crímenes Imperceptibles) considera que Borges conocía al menos el álgebra y el análisis que se dicta, usualmente, en los primeros años de las carreras técnicas de las Universidades. Por eso, volveré a escribir sobre él.

 

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Correo: juanpetryla@gmail.com

Twitter: @juanpetryla

 



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