El infinito matemático

En esa publicación voy a referirme al infinito desde un punto de vista matemático. Desde la antigüedad clásica se discute el concepto y, en esa controversia, hay que mencionar a Aristóteles (384 – 322 a. C) como personaje principal. Para este filósofo griego, una cantidad es infinita si siempre se puede tomar una parte de ella fuera de la que ya ha sido tomada. En otras palabras, es como una despensa inagotable de la que se pueda extraer cosas nuevas sin cesar.

La discusión sobrevivió sin grandes avances hasta que el matemático ruso Georg Cantor (1845-1918) comienza sus trabajos sobre teoría de conjuntos y, a partir de él, aparecen las primeras luces y también las primeras paradojas. Los números naturales son aquellos que utilizamos para contar. Cuando contamos estamos asociando elementos de un conjunto con los números naturales.

¿Qué significa esto? Supongamos que tenemos un conjunto de diez personas y otro de diez sillas. Cuando cada persona se sienta, lo que se produce es un emparejamiento o apareamiento de los elementos del primer conjunto con los elementos del segundo. Si en vez de las sillas, tomamos el conjunto {1, 2, 3,…,10} de los diez primeros números naturales, y apareamos cada persona con un número, lo que hacemos es contar.

Entonces, si puedo asociar a cada persona con uno y sólo un número distinto, estamos en condiciones de aseverar que hay diez personas. Esto es trivial pero, de esa trivialidad, surgen ideas que chocan contra nuestra intuición. Cantor dice que en el contexto finito, dos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos si y solo si se puede establecer un apareamiento perfecto uno a uno entre ellos. Pero, ¿qué sucede cuando estamos ante un conjunto infinito? Y es ahí donde surgen cosas extrañas.

Tomemos el conjunto A={2, 4, 6, 8,…} de los números naturales pares. Nuestra intuición nos indica que el conjunto A es una parte del conjunto de los números naturales; más precisamente, los números pares son exactamente la mitad de los números naturales. Pero, siguiendo la idea de Cantor, hagamos las siguientes asociaciones entre los números naturales y los elementos de A: 1↔2 2↔4, 3↔6,…y así sucesivamente. Y aquí, forzados por la definición de Cantor, estamos obligados a tirar nuestra intuición a la papelera y convencernos de que existe la misma cantidad de números naturales que de números naturales pares. O sea, la “mitad” tiene el mismo número de elementos que el “todo”. Esta paradoja nos demuestra lo peligroso que es utilizar la intuición en la matemática.

De modo similar, se puede demostrar que el conjunto de los números fraccionarios (cocientes de dos números enteros) tiene tantos elementos como el conjunto de los números naturales aunque, intuitivamente, los fraccionarios deberían ser «más» que los naturales.

El infinito es un concepto matemático y, fundamentalmente, filosófico. Desde la matemática, lo dicho en este artículo no agota el tema ni mucho menos. La idea no es avanzar sino, solamente, mostrar que la matemática muestra cosas interesantes si se la aborda desde el lado correcto. Y también, que en el estudio de la Matemática, es mejor dejar la intuición bien guardada para que no nos visite y nos haga cometer errores groseros.

Jorge Luís Borges fue un escritor al que la matemática no le pasaba por arriba. La estudió y la utilizó en muchos de sus cuentos. Y, a diferencia de muchos otros, la utilizó correctamente. La paradoja que he desarrollado maravillaba a Borges; en el infinito matemático, el todo no es necesariamente mayor que cualquiera de sus partes. Dicho a la inversa, hay partes tan grandes como el todo. Pero no me quiero adelantar; Borges y la matemática será tema de un próximo artículo.

 

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