Paradojas matemáticas (2° Parte)

En un pequeño pueblo de Francia, apenas comenzado el siglo XX, Bertrand entró a la barbería de su amigo Gottlob, un inmigrante alemán. El barbero comenzó su trabajo  sabiendo los gustos de su cliente. A Bertrand le llamó la atención un lindo cartel colgado de la pared que no había visto antes. En él estaba escrito, en letras grandes, el siguiente mensaje: “Yo solamente afeito a quienes no se afeitan a sí mismos, y solamente a éstos”.

Terminada la tarea, Bertrand se despidió y ya retirándose, se dio vuelta y le preguntó al barbero: “Y a ti, ¿quién te corta la barba?”. Sin esperar la respuesta, se fue.

Gottlob analizó la pregunta. Si el barbero se afeita él mismo, entonces forma parte del conjunto de las personas que se afeitan a sí mismas, por lo que no podría afeitarse a sí mismo. Por otra parte, si no se afeita a sí mismo, entonces formaría parte del conjunto de las personas que no se afeitan a sí mismas, por lo que debería afeitarse él mismo. El pobre barbero, que pagó un buen precio a la persona que le hizo el cartel, se dio cuenta que las personas perspicaces le harían la pregunta que le formuló Bertrand y él no tendría ninguna respuesta. Ante esta perspectiva, le pidió al letrista que agregara al cartel la frase: “Lo dicho no tiene sentido, pero el cartel es muy bonito”.

Ahora sí, dejemos la ficción y entremos a la historia. El nombre completo de Bertrand es Bertrand Arthur William Russell (1872-1970), filósofo, matemático, lógico y escritor británico ganador del Premio Nobel de Literatura. Cuando hablamos de Gottlob, nos referimos a Gottlob Frege (1848-1925), matemático, lógico y filósofo alemán.

Esta paradoja surgió en la investigación de conjuntos que Russel estaba llevando a cabo. Simultánea, pero independientemente, Frege había terminado su obra Las leyes fundamentales de la Aritmética, a la que dedicó veinte años de su vida. En ella pretendía dar una fundamentación conjuntista y lógica a toda la matemática y de hecho, su impresión estaba finalizada. Y fue entonces cuando recibió una carta de Russell en la cual el inglés le planteaba la paradoja que había encontrado en sus estudios de los conjuntos. Frege solamente tuvo tiempo para insertar una nota al final de su libro, sin duda una de las más patéticas confesiones de la historia matemática: “Difícilmente puede haber algo más indeseable para un científico que ver el derrumbe de sus cimientos justamente cuando la obra está acabada. La carta del Sr. Bertrand Russell me ha puesto en esta situación…”. La obra se publicó y Frege se retiró absolutamente de la Matemática.

Esta paradoja tiene muchas versiones. Por ejemplo, Platón le atribuye a Sócrates la frase: “Sólo sé que no se nada”. También ésta es una paradoja similar a la del barbero. Es autoreferencial y tienen una estructura que analizaremos en otro artículo. Una de las versiones que me parece más interesantes  pretende probar la inexistencia de Dios.

Como sabemos, Dios es todopoderoso. Si logramos probar que no puede existir nadie más poderoso que Dios, entonces Dios existe.

Vamos a probar esto “por el absurdo”;  o sea, vamos a suponer que el resultado es cierto y eso nos va a llevar a una contradicción.

Supongamos que el Dios todopoderoso existe. Si existiera alguien todopoderoso, podría hacer, por ejemplo, piedras muy grandes. Debería ser capaz de hacer piedras que nadie pudiera mover. Debería ser capaz de hacer piedras que ni él mismo podría mover. Si hay piedras que él mismo no puede mover, eso significa que no es todopoderoso. No es Dios. O sea, no puede haber un Dios.

Gödel entró a esta historia en la década del 30 del siglo pasado y solucionó el entuerto. Pero esa es otra historia.

 

 

(*) Contacto: juanpetryla@gmail.com

Twitter: @juanpetryla

 

 

 



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