Matemáticas: Números transfinitos y El Aleph

En matemática, el problema del infinito es muy importante, como quedó evidenciado en mis artículos anteriores. En este tema, la figura clave es nuevamente Georg Cantor. Asimismo, en la literatura de ficción, el infinito aparece en muchos escritores. Pero, sin dudas, el que lo trató con mucha profundidad y conocimiento fue Jorge Luis Borges. Esa profundidad, nos obliga a ahondar (sólo un poco) en el infinito matemático para que El Aleph nos devele parte de su riqueza. Y, créanme, vale la pena.

Cantor demostró que el conjunto de los números pares, por ejemplo, es numerable y equivalente al conjunto de los números naturales. O sea, el segundo conjunto tiene la misma cantidad de elementos que el primero, aunque la lógica nos indique que eso no debería ser cierto. También probó que los enteros y los fraccionarios también son conjuntos numerables y equivalentes a los naturales. Por paradójico que parezca, estos conjuntos son del mismo tamaño. Dado el conjunto ℕ de los naturales, a él y a cualquiera de sus equivalentes (naturales pares, racionales, etc.) se les asigna un “tamaño” al que se denomina cardinal o potencia de ℕ que se denota 𝑐𝑎𝑟𝑑(ℕ).

El cardinal de conjuntos finitos define el número de elementos que tiene cada uno de ellos. Para conjuntos infinitos, nos da una idea del “tamaño de los mismos, aunque no podamos precisar la cantidad de elementos con los que cuenta. El conjunto ℕ es numerable y, por consiguiente, también lo son aquellos conjuntos que son equivalentes a ℕ. Cantor asignó a esos conjuntos numerables un cardinal al que representó con el símbolo ℵ0 (aleph sub cero), donde ℵ es la primera letra del alfabeto hebreo.

O sea que a partir de ahora podemos decir que 𝑐𝑎𝑟𝑑(ℕ) = ℵ0. A partir de este hallazgo de Cantor, podríamos hacernos la siguiente pregunta: ¿todos los conjuntos infinitos poseen el mismo cardinal? Dicho de manera menos técnica, el tema es saber si todos los conjuntos infinitos tienen el mismo “tamaño”. Cantor probó de manera concluyente que había infinitos con mayor cardinal y que ℵ0 es el menor cardinal de conjuntos infinitos.

El conjunto ℝ de los números reales, por ejemplo, posee mayor cardinal que ℵ0, lo que significa que tiene más elementos que ℕ. Ingeniosamente, Cantor lo demostró utilizando el método diagonal con lo cual, llegó a la conclusión que el 𝑐𝑎𝑟𝑑(ℝ) también es infinito pero “más infinito” que ℵ0. Por lo tanto, no podemos decir infinito como contraposición de finito; existen conjuntos con distintos “tamaños” de infinitos. Cantor denominó “potencia del continuo” al cardinal de ℝ y lo denotó 𝑐𝑎𝑟𝑑(ℚ) = ℵ1. Entonces, ℵ0 < ℵ1 (el conjunto de los números naturales tiene “menos” elementos que el de los reales). Por último, Cantor planteó la llamada hipótesis del continuo; conjeturó que no existe ningún conjunto infinito 𝐴 cuyo cardinal este comprendido estrictamente entre ℵ0 y ℵ1 pero, a pesar de su esfuerzo, nunca pudo probarlo.

Años más tarde, entre Kurt Gödel y el matemático estadounidense Paul Cohen (1934-2007) demostraron que la conjetura de Cantor era indecidible (indemostrable): ni puede afirmarse ni puede negarse. Finalmente, resulta que hay un número infinito de infinitos, cada uno mayor que el anterior, hasta llegar al mayor de todos ellos, al que se denomina omega. Es tan vasto que es que es indescriptible. No es posible llegar a él. Como si ese número fuera Dios. Cantor, inclusive, escribió artículos religiosos sobre el tema.

El aporte de Cantor a la matemática de los conjuntos infinitos fue monumental a pesar de sus continuos problemas de depresión, a tal punto que falleció internado en una clínica psiquiátrica. Este pantallazo acerca de los distintos infinitos no agota el tema ni mucho menos. Simplemente, mi idea es dar una introducción para desembocar, en el próximo artículo, en el estudio de los elementos matemáticos presentes en El Aleph.

 

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Correo: juanpetryla@gmail.com

Twitter: @juanpetryla



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