Teorema de la incompletitud de Gödel

En los dos artículos anteriores escribí sobre las paradojas matemáticas y de cómo éstas resistieron por años hasta que pudieron ser justificadas desde el punto matemático. En el caso de la paradoja del barbero presentada por Bertrand Russel, la que tiró por la borda un trabajo de 15 años de Friedrich Frege, obtuvo un soporte matemático con la formulación del Teorema de la Incompletitud presentada por Kurt Gödel.
Para comenzar, voy a mencionar algo sobre la vida de éste matemático. Gödel nació el 28 de abril de 1906 en Brünn, hoy República Checa. A los 8 años sufrió un ataque de fiebre reumática de la que se recuperó sin consecuencias. Sin embargo, él quedó convencido por el resto de su vida que quedó afectado por una grave hipocondría.
Estudió Matemática, Física y Filosofía en Viena, donde completó su tesis doctoral en la primera de esas ciencias. Comenzó a trabajar en la Universidad de Viena pero, debido a las dificultades cada vez mayores que comenzó a tener con los nazis, en 1940 emigró con su esposa a los Estados Unidos. Allí fue contratado en la Universidad de Princenton, donde trabajaba Einstein. Se hicieron grandes amigos.
Con el paso de los años su hipocondría se agravó con una inestabilidad mental que le hacía pensar que lo estaban envenenado por lo que solamente comía alimentos preparados por su esposa. Cuando ella tuvo problemas de salud por los cuales fue internada, Gödel prácticamente dejó de comer y falleció por debilidad extrema el 14 de enero de 1978.
Este matemático, torturado por su mente gran parte de su vida, fue el autor del famoso Teorema de la Incompletidud (en realidad son dos los teoremas) en el año 1931. Con una simplificación muy grande, lo que probó es que en Matemáticas, existen proposiciones cuya verdad o falsedad no se puede demostrar. Estas son las llamadas proposiciones indecidibles. Por ejemplo, la frase “Yo miento”, es una afirmación que no es verdadera ni falsa. En efecto, si fuera verdadera, de acuerdo con lo que dice, sería falsa y si fuera falsa, también por lo que afirma,
sería verdadera. Se trata de una afirmación indecidible y Gödel demostró su existencia en la Matemática y caracterizó las hipótesis bajo las cuales se presentaba. La paradoja del Barbero es un ejemplo de una proposición indecidible.
Por su importancia, el Teorema de la Incompletidud tiene un nivel similar a la teoría de la Relatividad. Sin embargo, casi todos conocen que existió un Einstein que estudió la relatividad y muy pocos escucharon que a un tal Gödel, amigo de Einstein, se le ocurrió demostrar que existen en la matemática proposiciones que no son verdaderas ni falsas. Por otra parte, mientras que la sofisticación de las Matemáticas de la teoría de la relatividad hace fracasar cualquier intento para divulgarlo, la matemática necesaria para probar el Teorema de la Incompletitud es muy
accesible.
En un primer momento, Gödel provocó un terremoto en la matemática. Su teorema atacó uno de los cimientos de esa ciencia como lo es la creencia de que toda proposición matemática, a la corta o a la larga, podía ser probada como verdadera o falsa. Pero, pasada la tormenta, todo siguió en su cauce; lejos de ser un golpe fatal, la matemática sigue avanzando sin preocuparse demasiado de lo indecidible. Eso no implica que sea poco importante; solamente significa que los matemáticos, en la práctica diaria utilizan construcciones axiomáticas tan poderosas que minimizan el campo de aplicabilidad de la indecibilidad.
El teorema de Gödel, aunque parezca extraño, tuvo muchos intentos de aplicación en las ciencias sociales tales como la semiótica, la sicología, la comunicación y la sociología. Por ejemplo, Jacques Lacan utilizó el concepto de incompletitud en el psicoanálisis.
En general, ese intento de extender lo planteado por Gödel a las ciencias sociales es muy arriesgado, fundamentalmente porque los autores que fueron atacados por esa especie de gödelitis tienen o tuvieron conocimientos matemáticos muy vagos. Esto les hace decir cosas sin ningún sentido y, a veces, pareciera que lo hacen solamente para presumir sus vastos conocimientos. Eso no significa que no se pueda hacerlo; significa que hay que tener muy claro el alcance de la incompletitud. Hay que poner en práctica algo tan simple como saber de lo que
se está hablando.

 

(*) Contacto: juanpetryla@gmail.com

Twitter: @juanpetryla

 



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