Paradojas matemáticas (1°Parte)

Todos tenemos alguna idea de lo que es una paradoja. Se trata de un razonamiento aparentemente válido, que parte de premisas supuestamente verdaderas pero que desembocan en situaciones contrarias al sentido común. En este artículo, y en los próximos, voy a presentar algunas que son muy comunes en matemática y que fueron el origen de muchas discusiones y generaron consecuencias importantes.

La primera de ellas es muy antigua y fue planteada por el filósofo griego Zenón de Elea (490-430 a.C.). Me estoy refiriendo a la historia de Aquiles, un soldado griego, quien desafía en una carrera a una tortuga. Debido a que es consciente de su mayor velocidad, con mucha generosidad, decide darle una gran distancia de ventaja a ésta ¡Y se larga la carrera! ¿Qué sucede?

Rápidamente,  Aquiles atraviesa esa distancia de ventaja hasta llegar al punto de partida de la tortuga. Ésta, lenta pero competitiva, se había desplazado unos cuantos pasos hacia adelante. Así que Aquiles decide cruzar ese puñado de pasos, hasta llegar de nuevo a donde estaba la tortuga. Nuevamente, no encontró a la tortuga en el lugar sino unos pasos más adelante. Sin desanimarse, siguió corriendo para salvar esa nueva distancia pero, nuevamente, encontró a la tortuga un poco más adelante.

Zenón argumentó que Aquiles podía seguir así hasta el infinito y nunca lograría alcanzar a la sorprendente tortuga. Al margen del golpe a su autoestima, Aquiles seguramente habrá pensado que algo estaba funcionando mal ¡Cómo puede ser que no pudiera dar alcance a la tortuga! Su pensamiento lógico no coincidía con su realidad.

Aquella paradoja, planteada por el filósofo griego, quedó irresuelta por muchos siglos. Plantea un problema que quedaría claro con la aparición del “análisis infinitesimal”, introducido por Isaac Newton (1642-1726) y Gottfried Leibniz (1646-1716) en el año 1666. A partir de esa poderosa herramienta matemática se pudo probar que una suma infinita de números reales podía dar como resultado un número finito. Esa demostración le devolvió la autoestima a Aquiles, aunque un poco tarde.

Vamos a razonar matemáticamente el problema. Para fijar ideas, supongamos que Aquiles le da a la tortuga una ventaja de 100 metros y que las velocidades de soldado y la tortuga son de 100  y 10 metros por segundo, respectivamente. Por consiguiente, Aquiles tarda 10 segundos en llegar al punto de partida de la tortuga pero, mientras tanto, la tortuga avanzó 10 metros. Aquiles recorre esa nueva distancia en 1 segundo y, mientras, la tortuga avanza 1 metro más. Sin desanimarse, Aquiles recorre ese metro en 1/10 segundos mientras que la tortuga avanza 1/10 metros más. Por lo tanto, el número de segundos que transcurren hasta que Aquiles alcanza a la tortuga es la suma de la serie de infinitos términos:

10 + 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 +…

Se trata de una “serie geométrica”—un tema que se estudia en la escuela secundaria. No importa si recordamos algo sobre ella (posiblemente no); lo relevante es que, a pesar de que se trata de una suma de infinitos términos, tiene un resultado finito. En este caso, esa suma vale 111/9 segundos, que es el tiempo en que Aquiles supera a la tortuga. Pero ese resultado llegó  muchos siglos después, y esa demostración matemática surge a partir de la comprensión del concepto del infinito y de la suma infinita de términos finitos. Es decir, fue necesario que tanto Newton como Leibniz aparecieran para que se pudiera probar que la paradoja de Zenón estaba mal planteada, producto del desconocimiento del eleata del manejo de los infinitos. El filósofo pasó a mejor vida no comprendiendo dónde estaba el error en su paradoja, y Aquiles se murió con su autoestima por el piso. Newton y Leibniz pusieron luz en la paradoja mientras destinaron parte de sus vidas para pelear ferozmente por el galardón de ser el primero en introducir el cálculo infinitesimal. Pero esa es otra historia.

 

 

(*) Ex Profesor Titular de Análisis II y Optimización de la carrera de Ingeniería Química de la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la UNaM.

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Correo: juanpetryla@gmail.com

Twitter: @juanpetryla



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